目录
1. 概念
1.1 什么是异或运算
1.2 什么是多项式
1.3 什么是模2运算
1.3.1 加法/减法运算
1.3.2 乘法运算
1.3.3 除法运算
2. CRC运算
2.1 步骤一：展开多项式获得CRC除数
2.2 步骤二：数据末端加0
2.3 步骤三：数据运算
2.4 结果
3. 拓展：初始值、结果异或值、输入反转、输出反转解释
3.1 初始值
3.2 结果异或值
3.3 输入反转
3.4 输出反转
4. 拓展：C语言代码编写一
5. 拓展：C语言代码编写二
6. 拓展：C语言代码编写三
1. 概念
一个CRC计算的小工具：
CRC（循环冗余校验）在线计算_ip33.com
在了解CRC如何工作之前，我们需要先了解几个概念。
1.1 什么是异或运算
异或运算是一种逻辑运算，用符号"⊕"表示。当两个二进制位不同时，结果为1；当两个二进制位相同时，结果为0。
结果运算公式0000⊕0=00110⊕1=11011⊕0=11101⊕1=0
相同得0，相异得1
1.2 什么是多项式
一个多项式是由变量（如 x）和系数（常数）通过加法、减法、乘法及非负整数次幂运算构成的表达式。
在 CRC 算法中，二进制数据被映射为多项式，举个例子，假如现在有二进制数10110011，其中二进制数的每一位对应的是系数（），则对应多项式为：
1· + 0· + 1· + 1· + 0· + 0· + 1· + 1
可简写为： + + + + 1
在CRC中用到的除数，正是由多项式的各项系数组成。
1.3 什么是模2运算
CRC 使用模 2 多项式算术。模2运算（Modulo-2 Arithmetic）是一种在二进制数（只有0和1）上定义的运算规则体系。
1.3.1 加法/减法运算
不考虑进位（加法时）或借位（减法时），其核心操作等价于异或（XOR）运算。
加法运算公式减法运算公式000⊕0=00⊖0=0010⊕1=10⊖1=1101⊕0=11⊖0=1111⊕1=01⊖1=0
注意这里是二进制加减，不要将其当成自然数加减了
1.3.2 乘法运算
规则与普通二进制乘法（逻辑与 / AND）相同。
程法运算公式000⊗0=0010⊗1=0101⊗0=0111⊗1=1
1.3.3 除法运算
模 2 除法相对于普通的算术除法，主要的区别在模 2 除法，它既不向上位借位，也不比较除数和被除数的相同位数值的大小，只要以相同位数进行相除即可，举个例子：
需要注意几点：
① 对齐：将除数与被除数的最高有效位对齐。
② 异或：如果对齐后的被除数部分当前最高位是1，则在该步的商记1，并用除数对当前被除数部分进行模2减法（XOR）。
③ 下移：将下一位被除数位带下来，形成新的部分被除数。
④重复：重复步骤2和3，直到处理完所有被除数位。
⑤ 结果：最终得到的商就是模2除法的商，最后剩下的部分（位数比除数少一位）就是余数（Remainder）。
上面那样看着不明显，我们和十进制放一起看一下：
上面概念了解完了，下面我们来看看什么是CRC。
2. CRC运算
循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check，CRC) 是一种广泛应用于数据通信和存储系统中的错误检测技术。它利用多项式除法生成一个固定大小的校验码（CRC 码），并将其附加到传输的数据上，使接收方能够验证数据的完整性。其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定，当检测原始数据在传输或存储过程中发生的意外改变，它能识别错误但不能纠正错误；一旦检测到错误，通常会触发重传请求。
那么CRC是如何使用的呢？这里我们举个例子，以这个例子进行展开描述：
我们来计算0x1C的CRC-8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式： + + + 1
2.1 步骤一：展开多项式获得CRC除数
多项式： + + + 1，展开后就是：
1· + 0· + 0· + 0· + 0· + 0· + 1· + 1· + 1
对应的除数就是二进制：
除数：1 0000 0111
2.2 步骤二：数据末端加0
数据串也就是被除数，根据多项式的最高此项在后方补0，多项式最高是几次就加几个0，根据除数可知最高此项为8，也就是补8个0，此时被除数为：
被除数：0001 1100 0000 0000
2.3 步骤三：数据运算
根据1.3.3的除法运算进行运算，将除数与被除数的最高有效位对齐：
进行按位异或操作：
使用上面的校验工具看一下：
2.4 结果
找到我们刚才的例子：
计算0x1C的CRC-8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式： + + + 1
此时我们就可以得到：
数据串（被除数）：0001 1100 0000 0000
多项式（除数）： 1 0000 0111
校验和： 0101 0100
这里我们在使用过程中想要发送带有CRC校验的数据，即将校验和添加到原始的数据串后面即可：
数据串：0001 1100
校验和：0101 0100 带有CRC校验的数据：0001 1100 0101 0100
注意！！！
这里有一点需要了解，校验和的位数不是随便取的，校验和的位数等于最高次幂的系数，也就是除数的位数-1，例如我们上面最高次幂为8，因此我们校验和最终位数取了8位，我们在举一个例子：
此时我们若是取校验和，就需要取蓝色部分。
以上就是CRC相关简单的运算过程，下面我们做一些拓展。注意拓展的这四个名词是为嵌入式单片机服务的，如果只是单纯的使用CRC计算，上面这些就可以了。
3. 拓展：初始值、结果异或值、输入反转、输出反转解释
下面是一些常见的CRC参数模型，可能你发现了，除了我们上面提到的，还有四个名词没有使用到，即初始值、结果异或值、输入反转、输出反转：
这些有什么作用呢？我们还是举例进行说明，我们先回到最开始的例子，以它来数据一下假如这四个名词后的运算流程：
计算0x1C的CRC8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式： + + + 1
按照我们上面的运算过程：
那么我们带入表中的四个数据，结果还会是这样吗？
根据表中数据，结果异或值、输入反转、输出反转：
可以看出最终结果没有发生变化：
3.1 初始值
初始值（Initial Value 或 INIT）是指在开始处理数据之前，预先填充到CRC寄存器（或称为移位寄存器）中的值。
增加初始值可以避免全零陷阱，全零的CRC校验码在传输或存储中可能与“无数据”或“数据缺失”的状态混淆。使用非零初始值（尤其是非全零的特殊值）可以确保即使数据是全零，计算出的CRC也不会是零（除非数据恰好满足某种条件），提高了校验码的区分度。
各种标准的CRC算法（如CRC-16-CCITT，CRC-32，CRC-16-MODBUS）都明确规定了必须使用的初始值。初始值是区分不同CRC变体的关键参数之一。只有使用相同的初始值（以及相同的生成多项式、输入反转、输出反转、结果异或值），不同系统计算出的CRC校验码才能一致。
3.2 结果异或值
结果异或值 (Final XOR Value / XOROUT)在计算完整个数据的CRC值后，但在输出最终校验码之前，将这个值按位异或 (XOR) 到CRC寄存器（即当前的CRC结果）上。
效作用和初始值差不多，只不过一个是在数据处理之前，一个是在数据处理完成以后。
3.3 输入反转
输入反转 (Input Reflection / REFIN)在将每个输入数据字节送入CRC计算核心（通常是移位寄存器）进行处理之前，是否先反转（Reflect）该字节内的比特顺序。
反转操作就是将一个字节（8位）的最高位 (MSB) 和最低位 (LSB) 交换，次高位和次低位交换，依此类推。相当于将字节内的比特顺序颠倒过来。举个例子：假如现在有 0x11001001，反转后就是 0x10010011，也就是 12345678 变成 87654321。
这样做的目的，是因为早期硬件CRC计算电路（使用线性反馈移位寄存器）有时采用不同的移位方向（左移 vs 右移）。输入反转提供了一种软件方式，使得即使底层计算逻辑是按特定方向设计的，也能兼容处理不同比特顺序（MSB-first vs LSB-first）的数据流。
3.4 输出反转
输出反转 (Output Reflection / REFOUT)在应用了结果异或值之后，但在输出最终的CRC校验码之前，是否反转整个CRC寄存器值的比特顺序。
原因和输入类似。
简单来说，这四个名词出现的原因，是解决硬件实现差异（移位方向、比特顺序）和避免特殊值（全零CRC）的问题，确保遵循同一标准的系统计算出的CRC校验码完全一致。
4. 拓展：C语言代码编写一
还是以我们上面的举例进行了解：
计算0x1C的CRC8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式： + + + 1
得到
数据串（被除数）：0001 1100 0000 0000
多项式（除数）： 1 0000 0111
在开始编写代码前，我们先看一下CRC校验直观的运算过程，了解一下其原理，首先我们生成一个运算器：
这样的运算器是怎么来的呢？我们看一下我们之前的运算过程，由于除数的最高位一定为1，并且除数的最高位在运算过程中，一定需要与被除数的最高有效位对齐，我们又知道根据异或操作，在二进制中无论0或者1，只要与1异或，可以理解为取反操作，因为0⊕1得1，1⊕1得0：
那么我们是不是可以认为每当最高位检测到1，那么除数中1对照的被除数，皆会进行取反操作：
这样每当探测器检测到1，取反器就开始取反：
实际使用看看，将被除数依次通过入口放入到运算器当中：
一直放入数据直到检测器检测到“1”：
此时检测器启动取反器，将数据取反：
取反完后数据继续压入，直到再次检测到一，再次取反：
一直循环，直到所有数据压入完成，此时运算器剩余数据就是所得值，注意从低到高取最高次幂的位数，这里最高次幂为 ，因此取8位，所得值为0x54：
完整过程：
原理了解完了我们来开始着手编写代码，首先声明一下多项式，注意这里声明不包含检测器“1”，也就是我们正常多项式为0x107，但是我们最高位当做检测器，在CRC实际计算中被隐式声明了：
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
创建一个初始值用于存放每次移位后运算器的值：
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
检查CRC寄存器的最高位与当前数据位的异或结果，如果条件满足，左移CRC寄存器并与多项式进行异或，如果条件不满足，只需将CRC寄存器左移一位：
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
uint8_t msb = (crc >> 7) & 0x01; // 取 crc 的最高位
crc <<= 1; // 左移 1 位
if (msb)
{ // 如果最高位是 1，才异或 poly
crc ^= poly;
}
}
完整代码：
#include
#include
uint8_t crc8_0x07(uint8_t data)
{
uint8_t crc = data;
uint8_t poly = 0x07;
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
uint8_t msb = (crc >> 7) & 0x01; // 取 crc 的最高位
crc <<= 1; // 左移 1 位
if (msb)
{ // 如果最高位是 1，才异或 poly
crc ^= poly;
}
}
return crc;
}
int main() {
uint8_t data = 0x1C;
uint8_t crc = crc8_0x07(data);
printf("CRC-8 (Poly 0x07) for 0x%02X: 0x%02X\n", data, crc);
return 0;
}
5. 拓展：C语言代码编写二
上面我们编写了CRC-8的代码，但是在实际使用过程在，上述代码其实是不规范，首先，在我们上面给出的常见的CRC模型中，可以看出CRC的初始值是0x00，而我们上面代码并没有初始值这一项，除此之外，需要遵循MSB(最高有效位优先)的处理方式，我们直接去的全是我们运算器值的最高位，这样做也不能说错，但是对于实际使用更改其他模型不是很方便。
我们将代码更改一下，完整代码：
#include
#include
/**
* @brief 计算CRC-8（多项式0x107，MSB First）
* @param data 输入数据
* @return uint8_t CRC校验值
*/
uint8_t crc8_0x107(uint8_t data)
{
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) // MSB First处理，循环从最高位(第7位)开始处理到最低位(第0位)，实现MSB(最高有效位优先)的处理方式
{
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;//将数据右移i位后与0x01进行与操作，提取当前要处理的bit
if ((crc >> 7) ^ bit) //检查CRC寄存器的最高位与当前数据位的异或结果
{
crc = (crc << 1) ^ poly;
}
else
{
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
int main()
{
uint8_t data = 0x1C;
uint8_t crc = crc8_0x107(data);
printf("CRC-8 (Poly 0x107) for 0x%02X: 0x%02X\n", data, crc);
return 0;
}
流程：
初始CRC: 00000000
处理第7位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 左移 → 00000000
处理第6位(0): 同上 → 00000000
处理第5位(0): 同上 → 00000000
处理第4位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00000000 << 1) ^ 00000111 = 00000111
处理第3位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00000111 << 1) ^ 00000111 = 00001001
处理第2位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00001001 << 1) ^ 00000111 = 00010101
处理第1位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 00010101 << 1 = 00101010
处理第0位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 00101010 << 1 = 01010100
6. 拓展：C语言代码编写三
上面我们会发现，每次只能处理一个字节的数据在实际使用过程中还不是很方便，那么如果我们想要实现随机输入数组，进行处理要如何实现呢？
注意期间使用的函数，若是不理解的可以去下方链接查看，所提到的函数皆有涉及，这里只是简述其用法，不做详解，不然篇幅过长，还有点跑偏了，毕竟是讲CRC的：
C语言_时光の尘的博客-CSDN博客
首先对于随机输入，我们通过调用 fgets() 函数实现读取我们输入的数据，由于 fgets() 函数不能自己移出换行符，因此需要我们手动移调：
printf("请输入十六进制数据（用空格分隔，例如: 1C A3 45）: ");
fgets(input, sizeof(input), stdin);
input[strcspn(input, "\n")] = '\0'; // 移除换行符
对于输入的数据，我们通过字符串分割函数 strtok() 进行分割，存入到数组当中，为了避免修改原数据我们只对 strdup() 复制的数据进行修改，完成后注意讲修改完的内存空间清除：
int hex_string_to_bytes(const char *hex, uint8_t *bytes) {
int count = 0;
char *token;
char *copy = strdup(hex); // 复制字符串以避免修改原数据
token = strtok(copy, " "); // 按空格分割字符串
while (token != NULL) {
bytes[count++] = (uint8_t)strtol(token, NULL, 16); // 转换为字节
token = strtok(NULL, " ");
}
free(copy);
return count;
}
对分割好的数据，我们逐字节进行CRC数据处理：
uint8_t crc8_stream(const uint8_t *data, size_t len) {
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
crc = crc8_update(crc, data[i]); // 逐字节更新CRC
}
return crc;
}
CRC处理函数我们还是沿用上面的：
uint8_t crc8_update(uint8_t crc, uint8_t data) {
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) { // 从最高位开始处理
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;
if ((crc >> 7) ^ bit) {
crc = (crc << 1) ^ poly;
} else {
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
完整代码：
#include
#include
#include
#include
/**
* @brief 计算单字节CRC-8（多项式0x107，MSB First）
* @param crc 当前CRC寄存器值
* @param data 输入数据字节
* @return uint8_t 更新后的CRC值
*/
uint8_t crc8_update(uint8_t crc, uint8_t data) {
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) { // 从最高位开始处理
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;
if ((crc >> 7) ^ bit) {
crc = (crc << 1) ^ poly;
} else {
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
/**
* @brief 计算数据流的CRC-8校验值
* @param data 输入数据数组
* @param len 数据长度（字节数）
* @return uint8_t CRC校验值
*/
uint8_t crc8_stream(const uint8_t *data, size_t len) {
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
crc = crc8_update(crc, data[i]); // 逐字节更新CRC
}
return crc;
}
/**
* @brief 将十六进制字符串转换为字节数组
* @param hex 输入的十六进制字符串（如"1C A3 45"）
* @param bytes 输出字节数组
* @return int 转换的字节数，失败返回-1
*/
int hex_string_to_bytes(const char *hex, uint8_t *bytes) {
int count = 0;
char *token;
char *copy = strdup(hex); // 复制字符串以避免修改原数据
token = strtok(copy, " "); // 按空格分割字符串
while (token != NULL) {
bytes[count++] = (uint8_t)strtol(token, NULL, 16); // 转换为字节
token = strtok(NULL, " ");
}
free(copy);
return count;
}
int main() {
char input[256];
uint8_t data[128];
size_t len;
printf("请输入十六进制数据（用空格分隔，例如: 1C A3 45）: ");
fgets(input, sizeof(input), stdin);
input[strcspn(input, "\n")] = '\0'; // 移除换行符
// 转换输入数据为字节数组
len = hex_string_to_bytes(input, data);
if (len <= 0) {
printf("输入格式错误！\n");
return 1;
}
// 计算CRC-8
uint8_t crc = crc8_stream(data, len);
// 打印输入数据和CRC结果
printf("输入数据: ");
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
printf("%02X ", data[i]);
}
printf("\nCRC-8 (Poly 0x107): 0x%02X\n", crc);
return 0;
}
我们先输入0x1C看看：
随便输一组数据：
验证可行。
持续更新中，后续有新的需求会继续拓展，欢迎讨论
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